PERGESERAN GRAFIK FUNGSI KUADRAT

Pada kesempatan ini kita akan mengamati pergeseran grafik fungsi kuadrat $y=\left(x+s\right)^2$ dan $y=x^2+t$ terhadap grafik $y=x^2$.

Pertama kita akan menyelidiki grafik $y=\left(x+s\right)^2$ terlebih dahulu. Geserkan luncuran s hingga diperoleh nilai $s$ yang diinginkan. Amati pergeseran grafik tersebut, apakah bergeser ke kiri, kanan, atas, atau bawah. Amati pula berapa satuan grafik tersebut bergeser.


Saat kita menggeser luncuran s sehingga bernilai 1, tampak bahwa grafik $y=\left(x+s\right)^2$ bergeser ke kiri sejauh 1 satuan. Saat luncuran s bernilai $-1$ diperoleh grafik $y=\left(x+s\right)^2$ yang bergeser ke kanan sejauh 1 satuan.

Jadi kita dapat menyimpulkan bahwa :

Grafik $y=\left(x+s\right)^2$ merupakan pergeseran grafik fungsi $y=x^2$ sejauh $s$ satuan ke kiri.

dan

Grafik $y=\left(x-s\right)^2$ merupakan pergeseran grafik fungsi $y=x^2$ sejauh $s$ satuan ke kanan.

Sekarang kita akan menyelidiki grafik $y terlebih dahulu. Geserkan luncuran s hingga diperoleh nilai $s$ yang diinginkan. Amati pergeseran grafik tersebut, apakah bergeser ke kiri, kanan, atas, atau bawah. Amati pula berapa satuan grafik tersebut bergeser.


Saat kita menggeser luncuran s sehingga bernilai 1, tampak bahwa grafik $y=\left(x+s\right)^2$ bergeser ke kiri sejauh 1 satuan. Saat luncuran s bernilai $-1$ diperoleh grafik $y=\left(x+s\right)^2$ yang bergeser ke kanan sejauh 1 satuan.

Jadi kita dapat menyimpulkan bahwa :

Grafik $y=\left(x+s\right)^2$ merupakan pergeseran grafik fungsi $y=x^2$ sejauh $s$ satuan ke kiri.

dan

Grafik $y=\left(x-s\right)^2$ merupakan pergeseran grafik fungsi $y=x^2$ sejauh $s$ satuan ke kanan.

Read More

MENENTUKAN AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT DENGAN CARA MELENGKAPKAN KUADRAT SEMPURNA

Selain dengan cara memfaktorkan, akar-akar persamaan kuadrat juga dapat dicari dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna. Perhatikan penjelasan berikut!

Baca juga : Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat dengan Cara Memfaktorkan

Bentuk umum persamaan kuadrat adalah $$ax^2+bx+c=0$$ dengan $a\neq0$.

Bentuk tersebut diubah ke $$\left(x+p\right)^2+q=0$$ dengan : $$p=\frac{b}{2a}$$ dan $$q=\frac{c}{a}-p^2$$.

Perhatikan contoh-contoh berikut!

Tentukan akar-akar dari $2x^2+5x-3=0$!
Penyelesaian :
Kita tentukan terlebih dahulu nilai $a$, $b$, dan $c$. $$\begin{aligned}[t] a=2\\ b=5\\ c=-3\\ \end{aligned}$$

Kemudian kita cari nilai $p$.
$$\begin{aligned}[t] p&=\frac{b}{2a}\\ &=\frac{5}{2\cdot2}\\ &=\frac{5}{4}\\ \end{aligned}$$
Lalu kita cari nilai $q$.
$$\begin{aligned}[t] q&=\frac{c}{a}-p^2\\ &=\frac{-3}{2}-\left(\frac{5}{4}\right)^2\\ &=-\frac{3}{2}-\frac{25}{16}\\ &=-\frac{24}{16}-\frac{25}{16}\\ &=-\frac{49}{16}\\ \end{aligned}$$
Setelah itu kita ubah ke bentuk $\left(x+p\right)^2+q=0$.
$$\begin{aligned}[t] \left(x+\frac{5}{4}\right)^2+\left(-\frac{49}{16}\right)&=0\\ \left(x+\frac{5}{4}\right)^2-\frac{49}{16}&=0\\ \left(x+\frac{5}{4}\right)^2&=\frac{49}{16}\\ x+\frac{5}{4}&=\pm\sqrt\frac{49}{16}\\ x+\frac{5}{4}&=\pm\frac{7}{4}\\ \end{aligned}$$
Kita selesaikan persamaan tersebut.
$$\begin{aligned}[t] x+\frac{5}{4}&=\frac{7}{4}\\ x&=\frac{7}{4}-\frac{5}{4}\\ &=\frac{2}{4}\\ &=\frac{1}{2}\\ \end{aligned}$$
dan
$$\begin{aligned}[t] x+\frac{5}{4}&=-\frac{7}{4}\\ x&=-\frac{7}{4}-\frac{5}{4}\\ &=-\frac{-12}{4}\\ &=-3\\ \end{aligned}$$

Jadi akar-akarnya adalah $\frac{1}{2}$ dan $-3$.

Read More

MENENTUKAN AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT DENGAN CARA MEMFAKTORKAN

Diberikan persamaan kuadrat berikut.
$$ax^2+bc+c=0$$
Untuk mencari akar-akarnya dapat dilakukan dengan 3 cara, yaitu memfaktorkan, melengkapi kuadrat sempurna, dan rumus kuadratik atau dikenal juga dengan rumus abc.

Perhatikan contoh berikut!

1. Tentukan akar-akar dari $x^2+5x+4$

Penyelesesaian :
Pertama-tama, cari dua bilangan yang jika dikalikan hasilnya 4 dan jika dijumlahkan hasilnya 5.
Kedua bilangan tersebut adalah 1 dan 4 karena $1\times4=4$ dan $1+4=5$.
Selanjutnya tinggal kita faktorkan sehingga menjadi :
$$\begin{aligned}[t] x^+5x+4&=0\\ \left(x+1\right)\left(x+4\right)&=0\\ \end{aligned}$$
Sehingga :
$$\begin{aligned}[t] x+1&=0\\ x&=-1\\ \end{aligned}$$
Atau
$$\begin{aligned}[t] x+4&=0\\ x&=-4\\ \end{aligned}$$
Jadi akar-akarnya adalah $x=-1$ dan $x=-4$.

2. Tentukan akar-akar dari $6x^2+7x+2=0$

Penyelesaian :
Pertama-tama kita kalikan dulu 6 dan 2 sehingga diperoleh $6\times2=12$.
Kemudian kita cari bilangan yang jika dikalikan hasilnya 12 dan jika ditambah hasilnya 7.
Kedua bilangan itu adalah 3 dan 4 karena $3\times4=12$ dan $3+4=7$.
Selanjutnya tinggal kita faktorkan sehingga menjadi :
$$\left(6x+3\right)\left(6x+4\right)=0$$
Faktor pertama kita bagi dengan 3 dan faktor kedua kita bagi dengan 2.
$$\frac{\left(6x+3\right)}{3}\frac{\left(6x+4\right)}{2}=0$$
Sehingga diperoleh :
$$\left(2x+1\right)\left(3x+2\right)=0$$ Selanjutnya :
$$\begin{aligned}[t] 2x+1&=0\\ 2x&=-1\\ x&=-\frac{1}{2}\\ \end{aligned}$$
dan
$$\begin{aligned}[t] 3x+2&=0\\ 3x&=-2\\ x&=-\frac{2}{3}\\ \end{aligned}$$
Jadi akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah $-\frac{1}{2}$ dan $-\frac{2}{3}$

3. Tentukan akar-akar dari $4x^2-36=0$!
Penyelesaian :
$$\begin{aligned}[t] 4x^2-36&=0\\ \left(2x\right)^2-6^2&=0\\ \left(2x+6\right)\left(2x-6\right)&=0\\ \end{aligned}$$
Selanjutnya
$$\begin{aligned}[t] 2x+6&=0\\ 2x&=-6\\ x&=-\frac{6}{2}\\ x&=-3\\ \end{aligned}$$
dan
$$\begin{aligned}[t] 2x-6&=0\\ 2x&=6\\ x&=\frac{6}{2}\\ x&=3\\ \end{aligned}$$
Jadi akar-akarnya adalah $-3$ dan $3$.

Selain dengan cara memfaktorkan, akar-akar persamaan kuadrat tersebut dapat dicari dengan cara seperti berikut.
$$\begin{aligned}[t] 4x^2-36&=0\\ 4x^2&=36\\ x^2&=\frac{36}{4}\\ x^2&=9\\ x&=\pm \sqrt(9)\\ x&=\pm3\\ \end{aligned}$$
Jadi akar-akarnya adalah $-3$ dan $3$.

4. Tentukan akar-akar dari $5x^2-10x=0$!
Penyelesaian :
$$\begin{aligned}[t] 5x^2-10x&=0\\ 5\cdot x \cdot x-5\cdot2\cdot x&=0\\ 5x\left(x-2\right)&=0\\ \end{aligned}$$
Selanjutnya : $$\begin{aligned}[t] 5x&=0\\ x&-0\\ \end{aligned}$$
dan $$\begin{aligned}[t] x-2&=0\\ x&=2\\ \end{aligned}$$
Jadi akar-akarnya adalah 0 dan 2.

Itulah pembahasan mengenai mencari akar-akar persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan. Selamat belajar ya....

Selanjutnya : Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat dengan Cara Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Read More

KEKONGRUENAN DI SEKITAR KITA

Apa sih kongruen itu? Benda-benda apa saja di sekitar kita yang kongruen? Adakah benda-benda kongruen di sekolah kita? Temukan jawabannya melalui video berikut.

Read More

BAGAIMANA ORANG ZAMAN DAHULU MENGUKUR TINGGI PIRAMIDA?

Piramida merupakan bangunan bersejarah sangat ikonik yang berada di negara Mesir. Bangunan megah berbentuk limas tersebut sangatlah besar. Zaman sekarang, tidaklah sulit untuk mengukur tinggi piramida dengan menggunakan teknologi yang canggih. Tapi sebenarnya orang zaman dahulu pun orang-orang pada masanya sudah dapat memperkirakan tinggi piramida. Diantaranya adalah Thales, seorang matematikawan terkenal dari Yunani. Padahal zaman itu teknologi belum secanggih sekarang lho. Bagaimana ya Thales mengetahui tinggi piramida? Yuk kita simak video berikut.

Read More

RINGKASAN SIFAT-SIFAT BILANGAN BERPANGKAT

Sebelumnya : Sifat-sifat Bilangan Berpangkat

Kita sudah belajar mengenai sifat-sifat bilangan berpangkat. Agar tidak cepat lupa, Math ZQ sudah membuat ringkasan rumus mengenai sifat-sifat bilangan berpangkat.

Selamat belajar ya...

Read More

PENTINGYA ALAT PERAGA DALAM PENDIDIKAN MATEMATIKA

Pada dasarnya, matematika merupakan pelajaran dengan konser-konsep yang abstrak. Oleh karena itu diperlukan media dan alat peraga yang dapat membantu siswa untuk memahami konsep-konsep abstrak tersebut. Tulisan ini merupakan reviu dari buku yang berjudul Media dan Alat Peraga dalam Pembelajaran Matematika karya Drs. H. Rostina Sundayana, M.Pd.

Matematika merupakan salah satu mata pelajaran yang memiliki peranan yang penting dalam kehidupan. Oleh sebagian orang, matematika dianggap sebagai mata pelajaran dengan tingkat kesulitan tinggi, namun setiap orang harus mempelajarinya karena merupakan sarana untuk memecahkan masalah sehari-hari. Ciri utama matematika adalah penalaran secara deduktif namun tidak mengabaikan cara penalaran induktif. Obyek matematika yang bersifat abstrak merupakan kesulitan tersendiri yang harus dihadapi siswa maupun guru dalam melaksanakan proses pembelajaran. Oleh karena itu guru memerlukan bantuan media dan alat peraga yang tepat sehingga diperoleh hasil yang optimal terhadap bagi pemahaman siswa terhadap materi yang sedang dipelajarinya. Dalam buku ini diuraikan berbagai macam alat peraga yang sangat berguna dalam pembelajaran matematika.  Ada alat peraga berbasis konsep luas, panjang, volume, pengukuran, geometri, teori kemungkinan, permainan, serta teknologi informasi dan komunikasi. Salah satu alat peraga yang paling menarik perhatian saya adalah alat peraga untuk mendapatkan rumus luas bangun datar. Dasar yang  digunakan adalah luas persegi panjang. Untuk mendapatkan rumus bangun datar yang lain , bangun-bangun datar tersebut digunting kemudian disusun kembali sehingga membentuk bangun persegi panjang. Dari proses ini, siswa, dengan bantuan guru, diharapkan dapat “menemukan sendiri” rumus luas bangun datar yang dimaksud.

Penggunaan alat peraga dapat membantu siswa memahami konsep matematika, dari mana konsep berawal, dan bagaimana menghubungkan konsep-konsep yang sudah dipelajari sebelumnya dengan konsep baru yang akan dipelajarinya. Dengan demikian siswa  terbantu untuk dapat membangun sendiri pengetahuannya sehingga segala sesuatu yang sudah dipelajari siswa akan bertahan lama di otak mereka.

Read More

LATIHAN SOAL BANGUN RUANG SISI LENGKUNG

Untuk melatih pemahaman kalian mengenai bangun ruang sisi lengkung, kalian dapat mengerjakan soal-soal berikut.

Read More

SIFAT-SIFAT BILANGAN BERPANGKAT

Sebelumnya : Pengertian Bilangan Berpangkat

Perkalian pada Perpangkatan

Perhatikan contoh berikut :

$$\begin{aligned}[t] 2^3 \times 2^4 &= \left( 2 \times 2 \times 2 \right) \times \left( 2 \times 2 \times 2 \times 2 \right)\\ &= 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \\ &= 2^7 \\ &= 2^{3+4} \\ \end{aligned}$$
Jadi dapat kita simpulkan bahwa :

$$a^m \times a^n = a^{m+n}$$
Dengan kata lain :
Jika bilangan berpangkat yang memiliki basis yang sama dikalikan, maka pangkatnya ditambahkan.

Memangkatkan Suatu Perpangkatan

Perhatikan contoh berikut :

$$\begin{aligned}[t] \left( 5^2 \right) ^3 &= 5^2 \times 5^2 \times 5^2 \\ &= 5^{2+2+2} \\ &= 5^6 \\ &= 5^{2 \times 3}\\ \end{aligned}$$
Jadi dapat kita simpulkan bahwa :

$$\left( a^m \right) ^ n = a^{m \times n}$$

Dengan kata lain :
Jika bilangan berpangkat dipangkatkan, maka pangkatnya dikalikan.

Perpangkatan pada Perkalian Bilangan

Perhatikan contoh berikut :

$$\begin{aligned}[t] \left( 4 \times 5 \right) ^3 &= \left( 4 \times 5 \right) \times \left( 4 \times 5 \right) \times \left( 4 \times 5 \right)\\ &= \left( 4 \times 4 \times 4 \right) \times \left( 5 \times 5 \times 5 \right) \\ &= 4^3 \times 5^3 \\ \end{aligned}$$

Jadi dapat kita simpulkan bahwa :

$$\left( a \times b \right) ^m = a^m \times b^m$$

Pembagian pada Perpangkatan

Perhatikan contoh berikut :

$$\begin{aligned}[t] \frac { { 5 }^{ 6 } }{ { 5 }^{ 2 } } &= \frac { 5\times 5\times 5\times 5\times 5\times 5 }{ 5\times 5 } \\ &= 5\times 5\times 5\times 5\\ &= 5^4\\ \end{aligned}$$

Jadi dapat kita simpulkan bahwa :

$$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$
Dengan kata lain :
Jika bilangan berpangkat yang memiliki basis yang sama dibagi, maka pangkatnya dikurangi.

Perpangkatan pada Pecahan

Perhatikan contoh berikut :

$$\begin{aligned}[t] \left( \frac {4}{5} \right) ^{3} &= \frac {4}{5} \times \frac {4}{5} \times \frac {4}{5}\\ &= \frac { 4 \times 4 \times 4 }{ 5 \times 5 \times 5 }\\ &= \frac { {4}^{3} } { {5} ^ {3} }\\ \end{aligned}$$

Jadi dapat kita simpulkan bahwa :

$$\left( \frac {a}{b} \right) ^{m} = \frac { a^m }{ b^m }$$

Berikutnya : Ringkasan Sifat-sifat Bilangan Berpangkat

Read More

PERPANGKATAN

Perpangkatan adalah perkalian berulang dari bilangan yang sama.
Contoh :

$$2^5=2\times2\times2\times2\times2=32$$

Secara umum :

a disebut basis dan m disebut eksponen(pangkat).

"Bagaimana dengan pangkat 0 dan negatif?"

Perhatikan ilustrasi pada tabel berikut!

Jadi dapat kita simpulkan bahwa :

dan

Berikutnya : Sifat-sifat Bilangan Berpangkat

Read More